ДНЕВНИК ПЕДАГОГА. Запись #97:
Приём комического и доказательство от противного
Автор проекта: Надежда Братчикова. 19.09.2026
Иногда ведь как бывает? Дети доказывают-доказывают теоремы, а теоремы не доказываются. Или, например, вместо того, чтобы готовиться к зачёту, дети НЕ готовятся и вместо строгого доказательства пишут приём псевдологической аргументации.
Что такое «доказательство от противного»?
Чтобы доказать утверждение A, временно предполагают его отрицание ¬A, а затем выводят противоречие: ¬A ⇒ (B∧¬B).
После этого делают вывод, что ¬A невозможно, следовательно, верно A.
Какая задача стояла перед автором комического доказательства?
Доказать теорему: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Нужно доказать утверждение A: катет против угла 30 градусов = 1/2 гипотенузы.
Автор выбрал доказывать «от противного»
Строим отрицание утверждения ¬A: катет против угла 30 градусов ≠ 1/2 гипотенузы (фраза «Допустим, катет не равен половине гипотенузы» - правильно начатое доказательство от противного).
Следующим шагом нужно показать, что это допущение нарушает какое-либо свойство данного прямоугольного треугольника
- Например, если катет a, лежащий против 30 градусов, не равен c/2, где c - гипотенуза, то при достраивании треугольника до равностороннего нарушается его симметрия, следовательно a = c/2.
- Или, например, допустим, что a ≠ c/2. Но по теореме синусов необходимо следует a = c/2. Следовательно, одновременно получаются утверждения a = c/2 и a ≠ c/2 (это противоречие). Следовательно неверно предположение, что a ≠ c/2, следовательно верно a = c/2.
Автор допустил ошибку
Вместо того, чтобы обнаружить противоречие, автор, не подготовившийся к зачёту, использует фразу «но такое невозможно, ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов».
Тут НЕТ противоречия. Сумма углов 180 градусов - это доказанное рассуждение в евклидовой геометрии. Это верный факт, вне зависимости от того, равен ли катет половине гипотенузы, или НЕ равен. Это, конечно, серьёзный геометрический аргумент, бесспорный, только вообще НЕ связан с допущением.
В чем состоит комический приём?
Автор, не подготовившийся к зачёту, воспроизводит форму доказательства от противного, но вместо реального противоречия вставляет случайный верный математический факт (и возникает контраст между серьёзной, строгой интонацией и логической пустотой аргумента).
Это комическая пародия на доказательство от противного:
а) Начало рассуждения - настоящее допущение противоположного.
б) Далее - верное утверждение выдаётся за доказательство утверждения, с которым оно логически не связано. Например: «Катет не может быть равным половине гипотенузы, потому что после осени приходит зима». Если будем строить приём по формуле, нам будет существенна истинность утверждения - утверждение должно быть общеизвестно, бесспорно и НЕ относиться к обсуждаемому тезису.
Приём можно описать как non sequitur - вывод («обоснование»), не следующий из сказанного. В комическом варианте это является псевдологической аргументацией: произвольный факт занимает место доказательства.
Потренируемся?
Как раз четвероклассники просили на неделе накидать им приемов комического.
Встречайте приём псевдологической аргументации: тезис подкрепляется верным, но логически нерелевантным фактом.
Тезис: «Всем детям нужно заниматься математикой».
Подходящий аргумент: «Земля вращается вокруг Солнца» (это установленный факт, намеренно выбранный без связи с содержанием образования детей).