ДНЕВНИК ПЕДАГОГА. Запись #97:
Приём комического и доказательство от противного
Автор проекта: Надежда Братчикова. 19.09.2026
Иногда ведь как бывает? Дети доказывают-доказывают теоремы, а теоремы не доказываются. Или, например, вместо того, чтобы готовиться к зачёту, дети НЕ готовятся и вместо строгого доказательства пишут приём псевдологической аргументации.
Что такое «доказательство от противного»?
Чтобы доказать утверждение A, временно предполагают его отрицание ¬A, а затем выводят противоречие: ¬A ⇒ (B∧¬B).
После этого делают вывод, что ¬A невозможно, следовательно, верно A.
Какая задача стояла перед автором комического доказательства?
Доказать теорему: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Нужно доказать утверждение A: катет против угла 30 градусов = 1/2 гипотенузы.
Автор выбрал доказывать «от противного»
Строим отрицание утверждения ¬A: катет против угла 30 градусов ≠ 1/2 гипотенузы (фраза «Допустим, катет не равен половине гипотенузы» - правильно начатое доказательство от противного).
Следующим шагом нужно показать, что это допущение нарушает какое-либо свойство данного прямоугольного треугольника
- Например, если катет a, лежащий против 30 градусов, не равен c/2, где c - гипотенуза, то при достраивании треугольника до равностороннего нарушается его симметрия, следовательно a = c/2.
- Или, например, допустим, что a ≠ c/2. Но по теореме синусов необходимо следует a = c/2. Следовательно, одновременно получаются утверждения a = c/2 и a ≠ c/2 (это противоречие). Следовательно неверно предположение, что a ≠ c/2, следовательно верно a = c/2.
Автор допустил ошибку
Вместо того, чтобы обнаружить противоречие, автор, не подготовившийся к зачёту, использует фразу «но такое невозможно, ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов».
Тут НЕТ противоречия. Сумма углов 180 градусов - это доказанное рассуждение в евклидовой геометрии. Это верный факт, вне зависимости от того, равен ли катет половине гипотенузы, или НЕ равен. Это, конечно, серьёзный геометрический аргумент, бесспорный, только вообще НЕ связан с допущением.
В чем состоит комический приём?
Автор, не подготовившийся к зачёту, воспроизводит форму доказательства от противного, но вместо реального противоречия вставляет случайный верный математический факт (и возникает контраст между серьёзной, строгой интонацией и логической пустотой аргумента).
Это комическая пародия на доказательство от противного:
а) Начало рассуждения - настоящее допущение противоположного.
б) Далее - верное утверждение выдаётся за доказательство утверждения, с которым оно логически не связано. Например: «Катет не может быть равным половине гипотенузы, потому что после осени приходит зима». Если будем строить приём по формуле, нам будет существенна истинность утверждения - утверждение должно быть общеизвестно, бесспорно и НЕ относиться к обсуждаемому тезису.
Приём можно описать как non sequitur - вывод («обоснование»), не следующий из сказанного. В комическом варианте это является псевдологической аргументацией: произвольный факт занимает место доказательства.
Потренируемся?
Как раз четвероклассники просили на неделе накидать им приемов комического.
Встречайте приём псевдологической аргументации: тезис подкрепляется верным, но логически нерелевантным фактом.
Тезис: «Всем детям нужно заниматься математикой».
Подходящий аргумент: «Земля вращается вокруг Солнца» (это установленный факт, намеренно выбранный без связи с содержанием образования детей).
Докажем, тезис: «Детям нужно заниматься математикой».
Доказательство от противного:
Предположим обратное: детям не нужно заниматься математикой.
Но это невозможно,
потому что Земля вращается вокруг Солнца.
Следовательно, детям нужно заниматься математикой.
ч.т.д.
Дети, теперь вы можете доказать что угодно.
Докажите, что вам не нужно задавать домашнее задание!
Тезис: «Нам НЕ нужно задавать домашнее задание».
Доказательство от противного:
Предположим обратное - нам нужно задавать домашнее задание.
Но это невозможно,
- потому что сегодня понедельник, а завтра вторник.
- потому что мы сегодня (сейчас) уже занимаемся математикой.
- потому что завтра не будет занятия.
Следовательно, нам не нужно задавать домашнее задание.
ч.т.д.
UPD. Проходит неделя. Дети, говорю, объясните мне суть доказательства от противного.
Дети: «Мы предполагаем какой-то бред и затем мы доказываем, что это бред. И, соответственно, так не может быть. И всё, делаем вывод. Мы хотим доказать что-то нормальное. А предполагаем что-то противоположное этому нормальному. Доказываем, что бред - это бред и соответственно, нормальное - это нормальное. Как мы это доказываем? Доказывая это не бредом.»
Дети: «Нам нужно доказать утверждение А. У нас есть какое-то утверждение и мы преполагаем, что отрицание А - это не-А. Из этого не-А следует, что В - это не-В. Это противоречие. Соответственно, не-А невозможно. Соответственно А верно.»