Владимир Лёвшин: Три дня в Карликании

Это первая книга сказочной трилогии.

Для того, чтобы ребёнок понимал и решал предложенные в книге задачи, необходимо, чтобы он уже был знаком с дробями. Поскольку обыкновенные дроби введены в школьную программу в 4-м классе, можно смело рекомендовать эту книгу четвероклассникам, пятиклассникам и детям среднего школьного возраста.

Подробно рассмотрим четыре задачи, предложенные в книге и поднятые темы. 

Задача 1: Яблоки

"На трех тарелках лежат яблоки. На первой тарелке лежит половина всех яблок. Когда с этой тарелки взяли половину того, что лежало на второй тарелке, а затем половину того, что было на третьей, на первой тарелке осталось всего два яблока. Спрашивается, сколько яблок лежало вначале на каждой тарелке?"

В книге малыши отчаялись решать эту задачу: "Малыши сосредоточенно засопели, водя палочками по песку, некоторые от усердия даже высунули языки. Скоро, однако, настроение у них явно испортилось. Многие даже заплакали."

 Если ребёнок не может сходу понять/нарисовать условие задачи, попросите его сперва решить следующие задачи:

Задача 1. Пете и Васе дали три яблока. Как разделить эти яблоки между детьми?

Решение: ребёнок может решить двумя способами - 1) одно яблоко разделить пополам, тогда у Пети и у Васи будет по одному целому яблоку и по одной половинке; б) каждое яблоко разделить пополам, тогда у каждого мальчика будет по 3 половинки яблока.

Задача 2. Пете и Васе дали одно яблоко и одну грушу. Как разделить фрукты между детьми?

Решение: необходимо разрезать яблоко и грушу пополам, и у каждого мальчика будет по половине яблока и груши.

Задача 3. Пете и Васе дали три яблока. Как разделить эти яблоки между детьми поровну так, чтобы у каждого было ровно половина фркуторв?

Решение: кажется, что задача полностью повторяет задачу под номером 1. Однако, в первой задаче условие допускало любое деление фруктов, в этой же задаче мальчики обязаны получить ровно половину всех яблок. Наводящий вопрос ребёнку: что делать, если эти яблоки разного размера и цвета? В этом случае решени только одно: каждое яблоко следует разрезать пополам. Т.о. у каждого мальчика будут три половинки и яблоки будут поделены между ними поровну.

Задача 4. На двух чашах весов лежат три яблока. Весы в равновестии. На первой чаше весов лежит первое яблоко, которое весит столько же, сколько второе и третье, вместе взятые, лежащие на другой чаше весов. От второго и третьего яблока отрезали по половине и съели. Сколько нужно отрезать от первого яблока, чтобы весы снова были в равновесии?  

Решение: Наводящий вопрос: что значит, что весы были в равновесии? Ребёнок должен догадаться, что задача решается не с яблоками, а с весом.   

Теперь можно переходить к решению задачи из книги "Три дня в Карликании":

Помогите ребёнку нарисовать иллюстрацию к задаче - три тарелки. "На трех тарелках лежат яблоки"

"На первой тарелке лежит половина всех яблок". На первой - половина всех яблок. Значит, на второй и третьей - вторая половина всех яблок.

"Когда с этой тарелки взяли половину того, что лежало на второй тарелке". Делим содержимое второй тарелки пополам.

"а затем половину того, что было на третьей". Делим содержимое третьей тарелки пополам. 

Мы уже знаем, что содержимое второй и третьей тарелки равно содержимому первой тарелки. Значит, если мы берем половину содержимого на второй и третьей тарелках вместе - значит, мы взяли половину содержимого первой тарелки.  

"на первой тарелке осталось всего два яблока". Мы взяли половину с первой тарелки и у нас осталось 2 яблока (2 яблока - 1/2 от всех яблок, лежащи на первой тарелке). Значит, на целой тарелке 4 яблока. 

"Спрашивается, сколько яблок лежало вначале на каждой тарелке?" 4 яблока - это половина всех яблок на тарелках. Значит, на второй и третьей тарелках лежат 4 яблока. Решение в целых числах: на второй и третьей тарелках по 2 яблока. 

Степени и корни

Бесконечность

Позиционные системы счисления: двоичная, десятеричная, шестидесятеричная

Разница между цифрами и числами

Коммутативный закон сложения

Умножение на 0

Признаки делимости целых чисел на 2, 3, 9, 10, 11

Задача 2: "Наиболее общий признак деления на 11?" 

"Пусть многозначное число N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.
N = а + 10b + 100с + 1000d + ... = a + 10 (b + 10c + 100d + ...),
где многоточие означает сумму дальнейших разрядов.
Вычтем из N число 11(b + 10с + 100d + ...), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,
а - b - 10(c + 10d + ...),
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Прибавив к этой разности число ll(c + 10d + ...), кратное одиннадцати, мы получим число
a - b + c + 10(d + ...),
также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число N. Вычтем из него число 11(d + ...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим число
a - b + c - d + ... = (а + с + ...) - (b + d + ...),
имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число N. 

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

Испытаем, например, число 87635064:
8 + 6 + 5 + 6 = 25,
7 + 3 + 0 + 4 = 14,
25 - 14 = 11.
Значит, данное число делится на 11.

Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае - нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и складываем обе грани: 
5 + 28 = 33.
Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11:
528 : 11 = 48. 

Докажем этот признак делимости. Разобьем многозначное число N на грани. Тогда мы получим двузначные (или однозначные*) числа, которые обозначим (справа налево) через а, b, с и т. д., так что число N можно будет записать в виде 
N = a + 100b + 10000с + ... = a + 100(b + 100с + ...).
* (Если число N имело нечетное число цифр, то последняя (самая левая) грань будет однозначной. Кроме того, грань вида 03 также следует рассматривать как однозначное число 3.)
Вычтем из N число 99(b + 100с + ...), кратное одиннадцати. Полученное число
а + (b + 100с + ...) = a + b + 100(с + ...)
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Из этого числа вычтем число 99(с + ...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число
а + b + с + ... " 

Источник: Я.И.Перельман "Занимательная алгебра", http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st051.shtml

Т.о., кроме описанного в книге "Три дня в Карликании", существуют ещё два признака делимости на 11.

Признак 2: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры, начиная с единиц (пример: 1|23|45|67|89).
Например, 10|37|85 делится на 11, так как на 11 делятся 10+37+85=132 и 01+32=33.

Признак 3: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится знакочередующаяся сумма чисел, образующих группы по три цифры, начиная с единиц (пример: 1|234|567|890).
Например, 1|002|001 делится на 11, так как 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11.  

Простые и составные числа (решето Эратосфена)

Римские числа

Совершенные числа

Дружественные числа

Система счисления Древнего Египта

Китайские и японские иероглифы

Вавилонская шестидесятеричная система счисления 

Система счисления древних славян

"Любопытно было выяснять, почему в старославянском цифровом ряду нет буквы Буки? И в глаголице, и в кириллице буква Буки присутствует. В глаголице двойка обозначена буквой Буки. 

Достоверно неизвестно, почему создатель азбуки Константин-Кирилл обозначил двойку буквой Веди. Существует множество догадок, толкований, и даже откровенно ложных построений на эту тему. 

Изначально в описаниях кириллицы Буки (Боуки) толковались как "бог" и "будет" (позже появилось значение "буквы"). В русской речи эта буква исторически укоренилась как нехорошая. Согласно словарю Даля, в русской речи Буки относится к значению "будет" — "нечто неверное, гадательно будущее". Нечто, что сомнительно, неизвестно, будет или нет. Буква сеет сомнения в будущем, отправляет мыслями либо к хорошему в радужном свете, либо к грядущему Страшному суду, искуплению земных грехов. Эта версия выглядит наиболее правдоподобной и подкреплённой литературой."

Источник: http://german242.com/articles/suzdal/suzdal_clock.htm

Интересно сравнить кириллическую систему счисления с греческой.

Домысел А.С.Пушкина о начертании арабских чисел

Что больше: 4/7 или 2/3?

Математический фокус

Деление на 0 (бесконечно малые и бесконечно большие числа)

Задача 3

"На арену с разных сторон вышли два клоуна: белый, как мука, Тук и рыжий, как апельсин, Ток.
– Где ты пропадал, Ток? – спросил Тук.
– Я ходил покупать тебе подарок. Абрикосы!
– Я очень люблю абрикосы. Где же они?
– Я их по дороге съел.
– Все?
– Все. А потом я вернулся в магазин и попросил снова продать мне абрикосов. Но только половину того, что купил в первый раз.
– Где же они?
– Съел! 
Тук угрожающе замахнулся палкой.
– Подожди, подожди! – закричал Ток. – Я еще раз вернулся в магазин и попросил продать мне только четверть тех абрикосов, что купил в первый раз.
– И ты их опять съел?
– Съел! … Потом я вернулся и купил одну восьмую. И снова съел. – Ток рассмеялся. – Так я возвращался пять раз. Каждый раз я покупал вдвое меньше, чем в предыдущий. Видишь, я не забывал о тебе.
– Ты мне все-таки принес абрикосов или нет?
– Конечно, принес. Вот, смотри.
– Но здесь всего один абрикос!
– У меня больше не осталось денег.
– Сколько же ты всего съел абрикосов?
– Я не считал. Считай сам!
– Ты ел, а я должен считать?
– Если ты не знаешь арифметики, пусть тебе помогут зрители.
– Друзья, – обратился Тук к зрителям, – вы не знаете, сколько абрикосов съел Ток?"

Задача 4

"Через сколько времени наполнится бассейн водой, если его наполнять сразу через две трубы. Вместо труб у Тука и Тока были в руках пожарные шланги. Клоуны спотыкались, падали, обливались водой и, так и не решив задачи, мокрые, убежали с манежа."

Эта задача только обозначена в книге. Однако можно привести условие задачи, над решением которой придётся подумать.

"Если включить кран с холодной водой, то бассейн наполнится за полчаса, а если с горячей - то за час. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить бассейн, когда включены оба крана?"

Очевидный интуитивный НЕПРАВИЛЬНЫЙ ответ: за 45 минут

Ответ не только неправильный - он абсурдный и вот почему: допустим, мы наполняем бассейн только холодной водой и он наполнился за 30 минут. Поэтому, если мы включим ещё один кран - быстрее или медленнее будет наполняться бассейн? Больше 30 минут потребуется или меньше? Теперь очевидно, что если если в бассейн льется не только холодная, но и горячая вода, то бассейн заполнится быстрее, чем когда льется только холодная вода.  

Вопрос: сколько воды будет в бассейне через 1 мин?

Ответ: Если холодная вода заполняет бассейн за 30 мин, то за 1 мин она заполнит 1/30 часть бассейна.Если горячая вода заполняет бассейн за 60 мин, то за 1 мин она заполнит 1/60 часть бассейна. Поэтому, когда вода льется из обоих кранов, она заполняет 1/30 + 1/60 бассейна за 1 минуту.

1/30+1/60 =  2/60+1/60 = 3/60 = 1/20 бассейна заполнит за 1 минуту вода из двух кранов.

Вопрос: Сколько минут потребуется,чтобы заполнить бассейн, когда включены оба крана?

Ответ: 20 минут.  

Деление

Десятичные дроби

Периодические дроби

Урбен Жан Жозеф Леверье,
Архимед,
Исаак Ньютон,
Готфрид Вильгельм Лейбниц,
Пьер Ферма,
Михаил Васильевич Ломоносов, Леонард Эйлер,
Софья Васильевна Ковалевская,
Николай Иванович Лобачевский,
Пафнутий Львович Чебышев,
Александр Михйлович Ляпунов

Владимир Игоревич Арнольд в книге "Что такое математика?" так описывает взаимоотношения Ньютона и Лейбница:

Арнольд В.И. "Что такое математика?" М.: МЦНМО, 2012. Стр. 64-67