Нейробиологи доказали красоту математических формул
Ученые из Великобритании провели исследование, доказавшее, что математические формулы способны вызывать у математиков такое же ощущение красоты, как картины или музыка. Об этом пишет BBC со ссылкой на журнал Frontiers in Human Neuroscience.
Ученые попросили 15 математиков оценить красоту 60 формул, в то же время им проводили функциональную магнитную томографию. Оказалось, что на «красивые» формулы отзываются те же эмоциональные мозговые центры, что и на произведения искусства. Причем чем более красивой казалась формула участникам эксперимента, тем заметнее был скачок в активности этой области мозга. Ученые считают, что это исследование позволяет предположить у ощущения красоты нейробиологическую основу.
Первое место в конкурсе на самую красивую формулу заняло тождество Эйлера. Профессор Дэвид Перси из Института математики и ее применения назвал ее классикой и сказал, что не может быть ничего лучше: она проста и при этом невероятно глубока, в нее входит пять самых важных математических констант, а также используются три самые базовые арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень. По его словам, глядя на эту формулу, лишь постепенно осознаешь весь ее потенциал, что делает ее схожей с музыкальным произведением. А красота вдохновляет на поиск знаний.
Повесть о трёх числах
"Не исключено, что формула Эйлера - самая красивая одиночная формула во всей математике.
В ней в высшей степени неожиданным образом объединены ри (и четыре, если включить в счет и -1) константы, открытые в различные эпози и с очень разной мотивацией.
Говоря очень кратко, π = 3,1415926... принадлежит к наследию греков. Само его существование как действительного числа (то есть как чего-то подобного длине отрезка или площади квадрата) нельзя осознать без дополнительного мыслительного усилия. Проблема квадратуры круга - это не просто очередная геометрическая задача; это тест на легитимность с неясным результатом.
Напротив, число е = 2,718281828... является продуктом уже зрелой, хоть и не полностью развитой, западной математики (середина XVII века). Это - теоретический побочный продукт, с одной стороны, изобретенных в это время таблиц логарифмов, являющихся средством оптимизации численных алгоритмов (замена умножения сложением), и с другой стороны - задачи о "квадратуре гиперболы". Никакие классические геометрические конструкции не приводили к числу е и не наводили на мысль о существовании соотношения между е и π.
Наконец, определение "мнимого" числа i = √-1, рассматривавшегося многими современниками как нечто чудовищное, было для Кардано буквально вынужденным шагом, предпринятым в связи с формулами для решения кубического уравнения в радикалах. Когда все три корня являются вещественными, при использовании этих формул в промежуточных выч ислениях появляются комплексные числа.
Формула Эйлера представляет собой замечательный пример "бесконечных" тождеств, с которыми он (а позднее - Сринаваса Рамануджан) блестяще умел обращаться".
Ю.И.Манин. Математика как метафора.М.: МЦНМО, 2010. Стр.24
e to the pi i for dummies
Обработка видео...
And for those of you who enjoy some mathematical challenges here is your homework assignment on Euler's identity:
1. How much money does Homer have after Pi years if interest is compounded continuously?
2. How much money does Homer have after an imaginary Pi number of years?
3. As we've seen when you let m go to infinity the function (1+x/m)^m turns into the exponential function. In fact, it turns into the infinite series expansion of the exponential function that we used in our previous video. Can you explain why?
4. Can you explain the e to pi i paradox that we've captured in this video on Mathologer 2: https://youtu.be/Sx5_QGdFmq4.
Красота математической конструкции
"КРАСОТА В МАТЕМАТИКЕ — это тонкая грань между простотой и сложностью, естественностью и необычностью, загадкой и её решением. Красиво то, что позволяет нам увидеть больше, чем мы видели мгновение назад. Красиво то, что нас удивляет.
Видимо, категория красоты впервые возникла в математике в Древней Греции, с появлением геометрии — чем ещё, кроме эстетического наслаждения, можно объяснить желание изучать совершенно абстрактные картинки, составленные из прямых, отрезков и окружностей?
Поставьте себя на место первых геометров: практическая значимость большей части ваших изысканий станет понятной лишь спустя много столетий. А сейчас вы просто чертите палочкой на песке треугольники и обнаруживаете удивительную закономерность: какой бы треугольник вы ни построили, сумма его внутренних углов всегда составляет развёрнутый угол (тот, который получается, если стороны угла лежат на одной и той же прямой, но по разные стороны от вершины).
(Это изображения основаны на построении Andy Talmadge в программе GeoGebra, лицензия CC BY-SA 3.0, geogebra.org)
Вы чувствуете, что это не может быть случайностью. Должна быть какая-то причина, какое-то объяснение. Но на картинке его нет. Этот факт не даёт вам покоя, вы думаете о нём день и ночь. Наконец — быть может, почти случайно — вы добавляете новый штрих к чертежу с треугольником: проводите прямую, проходящую через одну из его вершин параллельную противоположной стороне.
Смотрите на рисунок несколько минут... И внезапно замечаете три угла, равных углам вашего треугольника, которые вместе образуют развернутый угол. Вот они, перед вами!
Теперь понятно, что никак иначе и быть не могло. То, что вчера казалось неразрешимой загадкой, стало очевидным фактом. Как будто туман рассеялся, и вашему мысленному взору открылся удивительный и прекрасный вид.
Вы смотрите на свой чертёж, состоящий лишь из нескольких отрезков, и понимаете, что это одна из самых красивых картин в вашей жизни.
Примерно так выглядит математическая красота."
«Математика – это способ описания реальности, путь к выяснению того, как работает наш мир, универсальный язык, ставший золотым стандартом истины. В нашем мире, где важнейшую роль в развитии общества играют наука и технология, математика становится все более явственным источником власти, богатства и прогресса. Следовательно, на передовой прогресса оказываются те из нас, кто способен бегло говорить на этом новом языке. […]
В этом дивном новом мире математика займёт еще более важное, центральное место – как способ организации и упорядочения информации и как средство преобразования информации в физическую реальность».
Френкель Э. Любовь и математика. Сердце скрытой реальности / Пер. с англ. Е.Шикарева. – СПб.: Питер, 2016 – С.10, 12
Ошибки при изучении математики по Б.Оакли
1. Начинать "работать над заданием вслепую - не прочитав учебника, не прослушав лекций, не просмотрев онлайновых уроков, не поговорив с кем-нибудь знающим".
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 28
2. Отсутствие шага: "создание понятийных порций, т.е. ментальных связок, объединяющих отдельные фрагменты информации через общий смысл". Тем самым приходится постоянно держать в памяти мелкие детали без объединения их в общее представление и отвлекать мозг от эффективной работы.
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 58
3. Отсутствие "нужного количества практики и повторений, формирующих порции информации".
"Математика порой оказывается удивительно компактной: вы можете долго, шаг за шагом биться над задачей, подходить к идее или процессу с разных сторон, но, как только пришло понимание и вы увидели масштаб явления на фоне целого, материал становится более компактным: вы можете его отложить в сторону, при необходимости вспомнить его быстро и в полном объеме, использовать его как рядовой этап в других мыслительных процессах. То озарение, которое приходит вместе с таким "сжатием" материала до компактного, и составляет одну из главных радостей изучения математики" [Thurston 1990: 846-847]
Уильям Терстон, лауреат Филдсовской премии (высшей награды в математике)
"Сложные понятия вряд ли можно усвоить, просто слушая чей-то рассказ". (Преподаватели математики обычно говорят: "Математика не зрелищный вид спорта".)
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 70-71, 166
4. Страх перед математикой. "Исследования мозга показали, что математикофобы, например, стремятся избегать математики потому, что даже мысль о ней болезненна. Когда они думают о необходимости заниматься математикой, болевые центры их мозга активизируются. Здесь требуется важное замечание. Болезненным было только предчувствие, мысль о предстоящем занятии. Когда математикофобы приступали к занятию, боль исчезала. Эксперт по прокрастинации Рита Эммет поясняет: "Страх перед математикой отнимает больше времени и сил, чем сами занятия математикой".
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 85
5. Условия сжатых сроков изучения математики. "Изучение математики - не то же самое, что написать доклад за одну ночь. Математика требует развития нового внутреннего фундамента, отличающегося от социальных, графических и ориентированных на язык опор, на которые человеческий мозг привык ориентироваться за века своего развития. Для многих людей опоры, связанные с математикой, возводятся медленно, по мере чередования сфокусированного и рассеянного мышления в ходе усвоения материала. Применительно к изучению математики отговорка "Мне лучше всего работается в условиях сжатых сроков и подступающих дедлайнов" не соответствует действительности.
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 132
6. Попытка найти шаблон. "Люди, которым не даётся математика, часто попадают в ловушку "математического бинго": в рекомендациях преподавателя или учебника они отчаянно пытаются найти шаблон и подгоняют к нему решение математических уравнений. Способные же студенты перепроверяют свои работы на наличие смысла и постоянно соотносят их с тем, какая формула что значит и откуда она берётся".
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 206
Польза от изучения математики
1. "Немного информации, бдительности и, возможно, экспериментаторства может спасти вас от утраты денег - или даже здоровья - в случае товаров, якобы произведенных по всем правилам науки."
2. "Минимум знаний из определенной области математики может спасти вас от невыплат по ипотеке - т.е. от ситуации, способной крайне неблагоприятно повлиять на вашу жизнь."
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 28
3. "Сейчас я каждый день наблюдаю, как математика применяется для проектирования автомобилей нового поколения, для запуска ракет в космос, для анализа работы человеческого организма." Ник Эплйард.
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 172
Отношение к ошибкам
1. "Наши неуспехи в математике и естественных науках способны многому научить нас. [Kapur and Bielczyc 2012 содержит отличный обзор с упором на важность неудачи при решении задач]. Знайте: каждая ошибка, которую вы осознаете при решении задачи, - знак прогресса, и поэтому радуйтесь, когда обнаруживаете ошибки. Сам Эдисон, как говорят, однажды заметил: "Я не ошибся. Я просто нашел десять тысяч способов, которые ни на что не годны".
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 40-41
2. "Для новичка было бы отличным стимулом услышать от преподавателей не монологи о великих достижениях прошлого, ввергающие слушателя в трепет, а рассказы об истории каждого научного открытия, о предшествующих ему многочисленных ошибках и неудачах - такая информация, с точки зрения человеческого восприятия, необходима для более точного понимания сути открытия" [Ramon y Cajal 1999 [1897]].
Сантьяго Рамон-и-Кахаль
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 195
3. "Помните: неуспех не так уж страшен. Главное - понять свои ошибки и не повторять их в будущем. Неудачи учат нас лучше, чем успехи, поскольку заставляют пересмотреть подход."
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 198
Успех в освоении математики по Б.Оакли
1. "У большинства людей результаты изучения математики зависят, во-первых, от коротких занятий, во время которых закладываются нейронные "кирпичи", и, во-вторых, долгих периодов между ними, во время которых мыслительный "котел" успевает остыть.
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 85
2. Для запоминания формул зайдите на сайт SkillsToolbox.com, где даны легко запоминающиеся подсказки для математических символов (например, символ деления "/" - это детская горка)
Думай как математик: Как решать любые задачи быстрее и эффективнее / Барбара Оакли. М.: Альпина Паблишер, 2015. Стр. 147