Первый год занятий (5+)
в математическом клубе ЛИСА
Часть I. Первое полугодие
Занятия в математическом клубе ЛИСА проходят один раз в неделю. В группе, в начале занятий, обычно 4-6 человек. Часто в течение года группа сокращается до 2-3 человек. На дом выдается домашнее задание.
ВСЕ фотографии, использованные в данной статье, сделаны в математическом клубе ЛИСА на занятиях с пятилетними детьми.
Очная группа занимается 1 раз в неделю. Вся информацию о занятии предоставляется родителям в специально организованном для группы чате. У каждого участника группы столько занятий, сколько занятий у группы. Ребенок заболел? Родители получают информацию о занятии, получают домашнее задание, выполняют - и не отстают от группы. Ребенок уехал в отпуск? Родители получают информацию о занятии, получают домашнее задание, выполняют - и не отстают от группы. Отсутствие ребенка на занятии не означает пропуск занятия.
Дети в каждой группе выбирают свой темп самостоятельно. С учетом темпа для каждой группы строится новая программа освоения математики.
Каждый новый поток детей - новая программа. Например, однажды в группу собрались дети, которые обожают раскраски. Это редкость для математического клуба ЛИСА, далеко не все дети любят раскрашивать картинки. Для этой конкретной группы была написана новая программа, в которой раскраскам уделялось время в течение занятия.
Новые группы начинают работать в октябре. Адрес: ул. Дыбенко д.5 к.1. С собой детям нужна сменная обувь, а для взрослых есть бахилы.
Первое занятие, как правило, общее: мы знакомимся, все вместе - педагог и родители - смотрят на детей. Родители сидят на стульях поодаль, стараются не болтать друг с другом (всё-таки дело ответственное), и смотрят, что происходит на занятии, как дети играют, общаются, выполняют задания. Родители смотрят на своих детей и на детей в группе. Важный момент: в отличие от школы, где одноклассников не выбирают, одноклассники - данность, при наборе новой группы математического клуба ЛИСА участники (дети) очень важны. Именно в коллективе легче преодолевать тяготы изучения математики. Именно коллектив поддержит или составит конкуренцию. Именно от того, какие участники собрались в группе, зависит темп работы группы. Поэтому родителям следует быть внимательными. Я вообще считаю, что родителям очень полезно наблюдать за тем, как работают и что говорят их дети в некотором организованном процессе. Другое дело, что родителям обычно это не показывают.
На дальнейших занятиях присутствие родителей необязательно.
Обычно я сразу же рекомендую родителям (хотя и не настаиваю) подписаться на новости математического клуба ЛИСА, чтобы оперативно узнавать о всех мероприятиях, о проектах и пр.
На что мы смотрели на первом ознакомительном занятии?
1. Захват карандаша. Математика письменная: придется научиться писать цифры. Для этого нужно сразу правильно взять в руки карандаши. Фиксируем первоначальный захват карандаша.
Детям удобно использовать для правильного захвата карандаши утолщенные трехгранные (+ точилка для утолщенных карандашей), а также тренажеры для постановки письма силиконовые (надеваются на обычный карандаш/ручку).
2. Как дети работают с пространственными формами, как собирают мозаику по шаблону. На фотографиях показана сложность выполнения заданий: непросто подобрать правильную фигуру.
3. Как дети придумывают собственную композицию из мозаики (и потом называют ее).
Работа 1. Придумать название создателю мозаики не удалось и выбор происходил из названий, предложенных другими участниками: колесо с лепестками, торнадо, цветок. Это цветок.
Работа 2. Обращает на себя внимание симметрия.
Работа 3. Это цветочек, три домика и солнышко.
Работа 4. Это Человечек, кристалл, корабль с пушками (разрозненные объекты).
4. Как дети справятся с просьбой нарисовать "начало".
Работа 1. Пряжа, которую спряла девушка (с пряжи начинается создание чего-то нового (одежды); на рисунке не просто пряжа, а девушка - есть инициатор процесса, источник действия, и видим, что "начало" - не статика, а динамический процесс, отправная точка для дальнейших событий).
Работа 2. Пузырики, которые улетают в небо из-за ветра (динамичный образ, образ путешествия или веселья/игры; это не совсем "начало", скорее образ возникающего и быстротечного).
Работа 3. Свистнули в свисток - дорога, по которой будут ехать машины - финиш (цепочка образов, причем образы связанные: свисток запускает машины, они едут по дороге и заканчивают путь на финише, не просто "начало", а схема событий).
Работа 4. Немного не получился финиш, тоже хотел гонку нарисовать.
Кроме трехграных карандашей полезно завести дома "Счеты первоклассника", потому что считать мы будем на палочках, на пальцах, на счетах. В 5 лет (и в 6 тоже) дети начинают осваивать абстрактные понятия, и им важно видеть то, что они считают. Пальцы, счеты, палочки - это мостик между конкретным и абстрактным. Число для нас - это не изображение абстракции цифрами, не способ говорить, это количество. Наша задача НЕ заучивать механически абстракции, а пересчитывать, опираясь на наглядность.
Иногда малыши приносят на занятия математические истины: - А я знаю, сколько будет пятью-пять! - Сколько? - 25!! - А почему? - Мне папа сказал!!!
Начинаем мы занятия с прописей: ставим точку, от точки "идем" по стрелочкам. Заодно проверяем захват карандаша. Видите, как сначала непросто?
Схема написания цифр обосновывается удобством быстрого написания. - быстро записывать и меньше уставать, делать меньше отрывов подряд. Например, семиклассники (!) решают примеры на "длинные" дроби и у одних рука быстро устает, у других - нет (устают писать цифры). Существуют "правильные" способы написания цифр (прописи). Следовать им или нет - выбор родителей. Любое (правильное или неправильное) написание цифр, а также и захват карандаша - быстро закрепляется и становится автоматизмом. Изменить автоматизм далее будет сложно, потребуется множество усилий.
Мы продолжаем играть с мозаикой. На фотографиях: 1) цветочек, земля, дом; 2) портал; 3) космическая ракета, которая украла кристалл; 4) снежинка
Мы выкладываем цифры палочками. Дети так же придумали выложить из палочек 1) космический корабль из космоса, цветочек, трава/земля; 2) корову; 3) батарею; 4) летающий дом. Одним детям нужны дополнительные задания на самостоятельное придумывание названий, другим - задания на целостное соединение образов (ввод пространства или фона, или объяснение по картине, или общую картину из фрагментов собрать, или описать картину.
У родителей после нескольких занятий начинают возникать вопросы. Например: то, что дети не доделали на занятии, тоже доделывать (дома) - или не надо?
Это вопрос о том, нужно ли делать то, что задают - или - нужно делать то, что нужно делать. Очевидно, существуют два ответа на этот вопрос:
1) Нужно выполнить только то, что задано как домашнее задание.
2) Нужно доделать задание с занятия. Почему ребенок не успел доделать? Были трудности. Значит, преодолеть трудности лучше всего дома, спокойно и внимательно.
По какому пути пойти родителям - вопрос философский. Путей обучения много. Из позитивных самый распространенный - сдавать только необходимое. А если родители плинаруют для ребенка выход на высокий уровень будущих достижений, нужно доделывать (и, даже, перевыполнять).
Дети загадывают загадки. Если сложно угадать, вот разгадки: 1) это ракета, которая всасывает космические метеориты - полезная вещь; 2) это монстрики; 3) это два зубастика общаются; 4) это два домика стоят, это земля, а это два солнышка.
По первым дз видно, кому легко выполнять дз, кому тяжело.
Дети впервые работают в интеллектуальной группе. Возникают трения. Трения нужно разрешать. Приведу в качестве примера несколько типичных ситуаций.
1) Выбор цветного карандаша. Дети отбирают друг у друга желанные цвета карандашей - и - расстраиваются. Или мальчики отказываются брать "неподходящие" мальчикам цвета (широкая палитра). Вариант решения: все карандаши выдает педагог, без выбора.
2) Дети в сердцах швыряют учебные пособия. Вариант решения: подождать, пока пособия будут подняты тем, кто швырял и отданы в руки, с нескольких попыток. Самое сложное - удержать других детей от исправления ошибки одного участника (дети бросаются поднимать, а им следует научиться ждать и НЕ делать работу по исправлению чужих ошибки, не лишать возможности того, кто сделал ошибку, эту ошибку исправить). Когда ошибка исправлена, все дети, с облегчением, радуются.
3) Дети эмоционально воспринимают проигрыш в игру, свою ошибку при счете. Причем могут начать плакать или отказываться разговаривать, а то и вовсе могут лечь на пол и демонстративно страдать. Вариант решения: время от времени предлагать ребенку присоединиться к новой активности (их череда), в какой-то момент ребенок перестанет расстраиваться и присоединится к игре. Путь смирения с ошибками каждый участник группы проходит самостоятельно и остро. При изучении математики ошибки неизбежны. Что нужно делать? Правильно. Исправлять ошибки. Принятие этой последовательности занимает у детей весь первый учебный год.
В этот момент у родителей возникают вопросы.
Вопрос 1: Зачем детям сейчас писать в этой возрастной группе, если на следующий год начнётся "подготовка к школе", и они там будут писать?
Ответ: незачем, если родители выбирают идти традиционным путём образования и никуда не спешить, и не ставить перед ребенком амбициозных планов. Вопрос абсолютно верный: зачем торопиться, если дети и так научатся в своё время всему?
Если мы заглянем в _традиционную_ программу по математике, то увидим, что в ней прописаны результаты детей: Программа воспитания и обучения в детском саду, 1987 (книга: vk.com/wall-209918658_314)
Программа применительно к математике (!), из книги: Зайцев В.В., Математика для детей дошкольного возраста: Пособие для воспитателей и родителей. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. С. 25-26:
«В старшей (5-6 лет) и подготовительной (6-7 лет) группах детского сада объем математических знаний, с которыми знакомятся дети, значительно возрастает. Освоение математического содержания осуществляется в следующих направлениях: 1) количество и счет; 2) величина; 3) геометрические фигуры; 4) ориентировка в пространстве и во времени.
Обозначим основные результаты обучения, которые служат ориентиром для традиционной программы математического образования детей этих возрастных групп [Программа воспитания и обучения в детском саду. М.: Просвещение, 1987].
Старшая группа (5-6 лет):
Раздел математики: Количество и счет
- Знать количественный и порядковый счет в пределах 10;
- уметь сравнивать рядом стоящие числа в пределах 10 (на наглядной основе);
- понимать отношение между соседними числами и образование одного из них из другого;
- знать состав чисел из отдельных единиц в пределах 5 (4- это 1, 1, 1 и еще 1).
Раздел математики: Величина
- Уметь сравнивать и упорядочивать предметы по размеру;
- уметь сравнивать предметы по размеру с помощью условной мерки и на глаз.
Раздел математики: Геометрические фигуры
- Уметь распознавать основные геометрические фигуры: круг, треугольник, четырехугольник (квадрат, прямоугольник);
- узнавать в окружающих предметах форму геометрических фигур.
Раздел математики: Ориентировка в пространстве и во времени
- Ориентироваться в пространстве (слева, справа, вверху, внизу, впереди, перед, за, между, рядом) и на листе бумаги;
- ориентироваться во времени (дни недели, утро, день, вечер, ночь).
Подготовительная группа (6-7 лет):
Раздел математики: Количество и счет
- Знать количественный и порядковый счет в пределах 10 (в прямом и обратном порядке);
- знать цифры от 0 до 9;
- понимать образование каждого числа из предыдущего и 1 (5=4+1) и из последующего и 1 (4=5-1);
- знать состав чисел первого десятка (из двух меньших и отдельных единиц);
- уметь решать простые задачи, при их решении осознанно выбирать арифметические действия сложения (+) и вычитания (-) с опорой на наглядный материал.
Раздел математики: Величина
- Уметь измерять и сравнивать размер предметов (длину, ширину, высоту) с помощью условной мерки;
- делить простейшие геометрические фигуры на 2 и 4 равные части, понимать отношения между целым и частью.
Раздел математики: Геометрические фигуры
- Иметь представление о многоугольнике;
- уметь разбивать геометрические фигуры на части и составлять из нескольких фигур одну большую.
Раздел математики: Ориентировка в пространстве и во времени
- Ориентироваться на листе бумаги в клетку (левее, правее, выше, ниже, от, до, над, под);
- знать последовательность дней недели, называть месяцы года.»
+++++++++++++
И всё? Да. И всё. Эту программу и в детских садах успешно осваивают: не обязательно в математический кружок детей водить, чтобы освоить _традиционную_ программу.
Самое главное: в традиционной программе для детей 5 лет НЕ предусмотрено обязательное умение писать цифры. Основной упор делается на развитие понимания количественных и пространственных отношений, формирование представлений о числе, величине, форме и времени (преимущественно в игровой и наглядной форме). Такие знания и навыки дети успешно получат в садике.
Вопрос 2: Возможен ли в математическом кружке "альтернативный подход к математике" (а не традиционный, который будет и в школе)?"
Предположим, что подразумевается под "альтернативной математикой" для детей 5+:
1) Отсутствие давления и гонки за результатом: не идет речь об ускоренном, форсированном обучении с опережением программы.
2) Без домашних заданий: всё обучение должно происходить на занятиях, не перекладываться на семью.
3) Без перегрузки и стресса для ребёнка, без раннего обучения письму: детям сложно, и не хочется, чтобы математика ассоциировалась с трудностями.
4) "Альтернатива", вероятно, подразумевается не к содержанию традиционной программы, а как альтернативный способ подачи математики: меньше формальных письменных заданий, больше устных, игровых, наглядных, творческих форм работы; меньше акцентов на "правильность", больше - на интерес, радость открытия.
5) Математику определяем как развитие мышления, а не как механические действия (скажем, счет): занятия должны быть направлены на развитие логики, внимания, воображения.
Если подытожить, то получится, что "альтернативная математика" - это процесс без стресса, без гонки, без домашних заданий, без раннего письма, с акцентом на интерес, радость и развитие мышления и практическое применение. "Альтернативный" подход - поддерживающий, игровой, ориентированный на ребёнка, а НЕ на результат.
Можно в математическом клубе ЛИСа организовать такой подход (переписать программу)? Легко. Что и было сделано.
Вопрос 3: Как сравнить два подхода: традиционная математика (близкая к школьной) и альтернативная математика (как подход)?
Ответ:
Традиционная программа обычно строится по принципу постепенного наращивания сложности.
Мы можем заметить, что традиционная программа усложняется, если:
а) Появляются новые, более сложные темы.
б) Увеличивается объём материала.
в) Усложняются письменные задания.
г) Вводятся абстрактные понятия и задания становятся менее наглядными (больше работы "в уме" или с символами).
Альтернативная программа обычно делает акцент на развитие мышления, логики, но усложнение там тоже есть.
Мы можем заметить, что альтернативная программа усложняется, если:
а) Появляются задачи на нестандартное мышление (логические загадки, головоломки, задачи на поиск закономерностей).
б) Задания становятся многошаговыми (нужно выполнить несколько действий подряд).
в) Вводятся элементы самостоятельного поиска (вместо прямых инструкций ребёнок сам придумывает способ решения, объясняет свой выбор, сравнивает разные варианты).
г) Увеличивается уровень абстракции (работа со схемами, символами).
Вопрос 4: Почему мы начали занятия с традиционной программы, где усложнение проявляется через расширение объёма, формализацию и введение письменных заданий? (и постепенному пути к абстрагированию)
Ответ:
Потому что именно этот подход, и он сложный, готовит детей к различного рода математическим экзаменам.
Как условный одиннадцатиклассник готовится к экзаменам? Самостоятельно открывает задачник и решает задачи страницами. Могут так делать множество детей? Нет.
Считаю ли я полезным альтернативный подход? Да, он тоже полезный, если мы планируем, что группа собралась на два года, до поступления в 1 класс, и наша задача - зажечь у детей огонёк интереса к математике.
После обсуждения вариантов группа переходит с традиционного на альтернативный подход к дошкольной математике. Мы начинаем занятия заново и посмотреть на занятия приходят родители.
Выбор темы первого занятия - математическая сказка "Три медведя". Работы детей:
Работы родителей (которые тоже присутствовали на занятии, только сидели отдельно, чтобы не мешать детям):
Работа 2. Идея поочерёдного возвращения медведей, каждый из которых самостоятельно фиксирует нарушение.
В оригинале сказки медведи возвращаются домой все вместе - акцент на коллективную собственность и совместную реакцию на нарушение. Последовательное возвращение ослабляет эффект коллективного реагирования, потому что структура восстанавливается фрагментами. Если мы говорим про восстановление порядка в реальных социальных системах, то изолированных актов фиксации недостаточно. Нужно потом их еще объединить. Возможно, просто это в выполненном задании подразумевалось, но не описано. На последнем этапе, по идее, должно быть объединение наблюдений каждого медведя. Т.е. в оригинале они сразу делятся наблюдениями: я вижу это (фиксируем), а я - это (фиксируем).
В данном варианте тот медведь, кто пришел последним, может не узнать, что было до него, если ему не расскажут. Т.е. должно быть совещание, на котором медведи будут делиться наблюдениями. И только потом - действовать сообща. Если этого не добавить, будет снижена объяснительная сила в части коллективных механизмов восстановления структуры.
Работа 3. Тут семейная структура разделена на два автономных дома и вводится механизм обращения за помощью (медвежата → родители), это тема социальной поддержки и иерархии.
Система двухуровневая: а) локальная фиксация изменений (в каждом доме), б) централизованное восстановление (пришли старшие и разобрались). Медвежата самостоятельны и уязвимы. Старшие - дают безопасность, гарантируют устойчивость структуру. В этой системе аспект обращения за помощью/поддержкой важен.
Что тут не хватает: эффекта семейного единства (медведей), т.е. снижается коллективная идентичность. Разделённая структура менее устойчива к внешним воздействиям, требует дополнительных каналов коммуникации.
Интерпретация (по просьбе родителей): а) как развивать у ребёнка привычку обращаться за помощью? б) как поддерживать семейную сплочённость? (какие могут быть совместные родительско-детские проекты?) в) что такое "поддержка"? (всегда ли это взаимодействие только родители - дети?) г) есть ли в семье общие ритуалы? есть ли правила, усиливающие ощущение сплоченности семьи?
Работа 4. Вариант с активным участием медвежат в фиксации и попытке задержания нарушителя - редкое дело в сказках. Обычно взрослые этим занимаются, инициатива у взрослых.
Ситуация типичная: дети первыми сталкиваются с проблемой, а взрослые реагируют постфактум. И отсутствие финального столкновения Маши со взрослыми снижает эффект восстановления структуры (нарушитель уходит безнаказанно, взрослые не видят источник нарушения).
С одной стороны, в данной сказке подчёркивается самостоятельность и инициативность медвежат, а с другой стороны, взрослые в позиции "догоняющих". Тут может быть вопрос про границы детской самостоятельности и про необходимость контроля со стороны взрослых. Т.е. взрослые не подтверждают факт вторжения (а это в реальной жизни обычно как проявляется? дети говорили, но им никто не поверил).
Так мы вступили на альтернативный путь освоения математики, без письма, без дз - работаем только на занятии и будем смотреть, что получается.
Математическая сказка "Три поросенка" (и волк)
Продолжаем тренировать воображение и образное мышление: 1) это ракета, которая украла магический кристалл, а вот это - Солнце; 2) это заброшенный дом и Солнце; 3) это угорь; 4) это заброшенный дом, который может ходить, с привидениями
Три головы из колодца. Английская сказка.
"Принцесса сделала для них всё, что они просили, а затем достала из мешочка то, что осталось от хлеба и сыра, и эля и пообедала. Пока она ела, одна из голов сказала другим:
- Чем наградим мы девицу, что к нам добра была?"
Дети, чем наградить принцессу надо?
- Золотом
- Золотой медалью
- Драгоценностями и украшениями
- Ввернуть её на башню
- Пподарить корону
- Золотые украшения и серебряные
- И ещё тортик
В сказке:
"- Я сделаю её такой красивой, что она сможет очаровать самого могущественного принца на свете, - сказала одна голова.
- Я подарю ей самый сладкий голос, которому позавидует соловей, - сказала вторая.
- Тогда я сделаю её женой самого могущественного принца, и она станет великой королевой, - сказала третья."
Я пропускаю (не описываю тут) множество сказок и игр, в которые мы играли с детьми, на математические, разумеется, темы.
Так, достаточно весело, проходит месяц (ноябрь) без домашних заданий.
После полученного опыта занятий альтернативной математикой родители отвечают себе на вопрос "Нужен ли детям результат (осязаемый, видимый, социальный)?" положительно и мы возвращаемся в русло традиционных занятий математикой.
Обучение школьной математике, условно, стандартно на протяжении сотен лет. Хотя время от времени появляются какие-то веяния, типа школы Жохова, детей индиго (помните таких?), ментальной арифметики.
Сейчас актуальное направление - игровые практики на уроках математики. Обучение через игру. Есть результаты? Есть. У тех, кто продолжает пахать, несмотря на игру. Смотрим на физматшколы. Есть у них игропрактика? Элементы - безусловно. На уровне: прими экзамен у соседа по парте, и если примешь неадекватно, а учитель проверит, ты получишь кол ("двойку надо заслужить").
К сожалению, математические навыки НЕ перекачиваются с флешки прямо в мозг детей. Нужна нарешенность и время (время - на то, чтобы смириться с новыми вводными и алгоритмами).
- Если нужны результаты - это тяжелый путь ошибок и исправлений ошибок. Перестал решать - пропустил тему, отстал.
- Если не нужны результаты - зачем нужен тяжелый путь? Дошкольникам полезно расширять кругозор, а математика в широком смысле его расширяет и в художественном, и литературном направлениях, и в логическом, и в пространственном. Весь ноябрь мы находились в пространстве расширения кругозора.
Почему нет серединного пути? (как в буддизме - натянутая стрела порвется, а ослабленная не даст звука). Потому что если нужен результат, нельзя немного ознакомиться с темой. Если нужен результат - нужна нарешенность и время.
Возьмём историю. Можно ознакомиться с историей Древнего Египта? Да, посетите Эрмитаж, прочитайте параграф из учебника по истории, и у вас будет представление о Древнем Египте. Переходите к ознакомлению с Древним Римом.
Можно ознакомиться с идеей сложения/вычитания чисел в первом десятке? Можно. Можно после этого блестяще решить контрольную? Скорее всего, нет, если не было нарешенности и не было заложено время (нейрончики не проросли, понимания не возникло).
Если не заложена нарешенность и не выделено время, обучение называется профанацией.
Приведу пример: дети рассказывают, как проходят уроки в школе (Геометрия, 8 класс). Первую половину урока учитель требовала тишины. Вторую половину урока учитель привлекала внимание к доске с задачами по готовым рисункам. На дз были задачи по готовым рисункам (дети дз игнорируют). На проверочной были задачи по готовым рисункам. Итог контрольной: у всего класса оценка "2" (у некоторых - 3).
Почему так? Ведь дети ознакомились с тем, что бывают задачи на готовых рисунках - они их видели в классе, они что-то слышали от учителя, они их получили на дз.
Можно сказать, что это для детей был серединный путь? Можно. Только это, конечно же, профанация. Вот если бы результат был не нужен (не было оценок), и проверочной бы не было (за которую выставляют оценки) - тогда да, вполне себе был бы серединный путь.
Итак, мы вернулись к суровой работе на занятиях и домашним заданиям. На этом этапе перехода из группы ушел один участник.
Осваивать математику нам помогает мозаика (сверху) и палочки Кюизенера (ниже):
1) это заброшенный дом бабы-яги
- ножки отвалились?
- она присела!
2) это цифра 7
3) это суперзлодей, который был против Человека-паука
4) это поднос с сосиской
Занятия идут, у родителей возникает следующий вопрос: Зачем нужно считать "на пальцах"?
Ответ: Есть необходимость. Существует эволюция связи между абстрактным счетом и предметами.
1) Дошкольный возраст (4–6 лет).
Счёт предметный: ребёнок оперирует конкретными объектами (пальцы, кубики), числа - это ярлыки к предметам. Абстракция числа формируется постепенно, через переход от предметного действия к умственному. Без предметной опоры абстрактные числа теряют смысл, а без числа предметный счёт не обобщается.
Число и количество предметов - это одно и то же.
Пять - это и пять пальцев, и пять камешков, и пять шагов. Всё одно: число - это количество конфет, количество конфет - это число.
2) Младший школьный возраст
Формируется способность к внутреннему (устному) счёту, но опора на предметы сохраняется как скрытая стратегия. Наступает переход к символическим операциям: числа становятся самостоятельными объектами мышления.
Пять - это не только количество конфет, но и просто "пять". Иногда пять - это просто слово, иногда оценка в дневнике. Число "пять" отделяется от предметов, но всё ещё за них держится.
3) Средняя школа
Абстрактное мышление развивается, числа становятся инструментом для работы с символами и формулами. Предметность вытесняется.
Число теперь само по себе. Можно умножать, делить, складывать и не думать о конфетах. Пять - это просто пять.
4) Старшая школа / математика в вузах
Числа - это частный случай абстрактных объектов. На первый план выходят отношения, структуры, символы.
Числа "исчезают", остаются буквы. x, y, z - это не конфеты, а переменные, символы, элементы множеств. Не важно, что считать - важно, как связаны символы между собой. Математика становится языком отношений, а не подсчёта вещей.
Возникает следующий вопрос: Можно ли перескакивать этапы развития?
Ответ: Нежелательно. Потому что редко приводит к устойчивому пониманию. Предметный опыт - это фундамент для абстракции. Попытки миновать его чреваты формализмом и ошибками. Оптимально - двигаться поэтапно, даже если темп индивидуален.
1) Развитие математического мышления идёт поэтапно - от конкретных действий к абстракции (есть исследования: Выготский, Пиаже). И сейчас идут эмпирические исследования, они показывают, что прочная "предметная" база способствует более глубокому и гибкому пониманию абстракций в более старшем возрасте.
2) Пропуск предметного этапа ведёт к формализму без понимания (ребёнок механически воспроизводит числовой ряд или выполняет арифметические действия, не связывая числа с реальными количественными отношениями. Например, решает задачи по шаблону, не осознавая смысла операций (например, складывает 2 и 3, не понимая, что это объединение двух групп предметов).
Приведу пример пятиклассника, у которого по математике 2/3. В начальной школе у него были пятерки, 4-й класс он закончил на 4/5 по математике. Для него числа вообще не связаны с жизнью. Когда он решает уравнение, он складывает все числа и арифметические действия в, условно, сундук, перетряхивает и достает то, что, как ему кажется, может подходить для решения.
Вот как пятиклассник решает уравнение (учебник, 5 класс, Школа России):
х : 7 = 13
Решение методом исключения.
Рассуждение такое: 13 на 7 не делится, значит, это не деление. Значит, или "плюс", или "минус", или "умножить".
Попросим пятиклассника составить задачу по уравнению.: у тебя есть несколько конфет, ты их разложил по 7-ми тарелкам, в каждой тарелке 13 конфет, сколько всего конфет?
пятиклассник: А, это "плюс". 7 + 13 = 20 конфет.
Попросим пятиклассника нарисовать тарелки. Может ли быть так, что в 7-ти тарелках лежат в каждой по 13 конфет, а всего конфет 20?
Пятиклассник отвечает: Да. (и записывает ответ: х = 20).
В чем ошибка? В правильном возрасте (дошкольном) не были созданы связи между предметами (в жизни) и абстракциями (числами, арифметическими операциями). Этап пропущен. А теперь пятиклассники уходят от предметности, и вернуть детей обратно в детство, к предметам, к жизни, к тому, что математику полезно воспринимать прикладной, сложно (это же для маленьких).
3) Существуют исключения: отдельные одарённые дошкольники способны к раннему абстрагированию чисел от предметов, но даже у них опора на предметный опыт обычно СКРЫТО присутствует.
Кстати, однажды из группы 5+ ушел участник, потому что его мама была категорически настроена против счета "на пальцах", потому что:
а) В школе не разрешают считать на пальцах, а требуют заучивания таблиц сложения и умножения - и это правильно.
На самом деле, про школу - это правда так. Есть суровое обоснование: в школе плотная программа, и валандаться с тем, насколько освоен этап перехода от предметного счета к абстрактному у каждого из 30-ти учеников, которые, к тому же, неидеально себя ведут на уроках (в смысле дисциплины), нецелесообразно. Нет времени. Проще заставить всех выучить наизусть, а с последствиями пусть средняя школа сама разбирается (начиная с 5 класса).
Насколько я понимаю, именно поэтому учителя начальной школы не разрешают терять время на пересчет. Выглядит это как запрет на счет на пальцах. Нет времени.
б) Хотелось бы гарантий, что если ребенок будет в 5 лет считать на пальцах, это не вызовет у него психологическую травму, которая приведет к нежелательным последствиям во взрослом возрасте.
Гарантий, конечно, никаких. Хотя и нет данных о связи между пальцевым счётом в дошкольном возрасте и психологическими травмами или устойчивыми трудностями во взрослом возрасте, но гарантировать абсолютное отсутствие любых последствий невозможно (в педагогике абсолютных гарантий не бывает), потому что кроме счета ребенок вовлечен в среду семейную, обучающую, это клубок действий и взаимоотношений) и найти конкретные истоки психотравм во взрослом возрасте затруднительно.
Когда мы вернулись на путь традиционного обучения математике - с домашними заданиями, на занятия вернулись проверочные.
Последняя тема перед новым годом - состав числа (5)
Наступает новый год, а нас впереди ждет вторая половина учебного года.